Давно известно, что заполнить двухмерное пространство без промежутков можно лишь определенными типами многоугольников. Плитки, не образующие периодических узоров, такие как мозаика Пенроуза, были открыты в 1980-х. В прошлом году группа ученых нашла семейство протоплиток, которые не обладали свойством периодичности.

Математик Габор Домокош и его коллеги из Будапештского университета технологии и экономики вернулись к проблеме периодических многоуольных плиток, но таких, у которых некоторые углы скруглены — так называемых мягких ячеек. В двухмерном пространстве не все углы плиток могут быть скруглены так, чтобы не оставалось промежутков, но определенные — параболические — формы это позволяют. Их внутренний угол равен нулю, а грани сходятся тангенциально, как в форме слезы.

Группа Домокоша разработала алгоритм для преобразования геометрических плиток — и двух-, и трехмерных — в мягкие ячейки и изучили различные варианты тасселяции этих форм. В 2D варианты ограничены: все плитки должны иметь по меньшей мере два параболических угла. Но в 3D можно замостить пространство мягкими ячейками вообще без углов, пишет Nature.

Ученые определили количественный показатель «мягкости» таких 3D-плиток и обнаружили, что самые мягкие — не компактные формы, а имеющие округлые «крылья» и похожие на седла.

В природе мягкие ячейки встречаются в виде двухмерных форм островов некоторых рек, в пересечении концентрических слоев лука и в биологических клетках. А трехмерные — в спиралевидных раковинах моллюсков-наутилусов. А рукотворные примеры можно увидеть в архитектуре, построенной по принципам отказа от углов, например, в зданиях, построенных по проектам бюро Захи Хадид.

По мнению Домокоша, для каждой многоугольной плитки есть уникальный тип замощения с наиболее высоким показателем мягкости. Он также подозревает, что материалы такой формы будут иметь максимально возможные физические характеристики, связанные, например, с энергией изгиба или поверхностным натяжением. Но пока у него нет доказательств этой гипотезы.

Одну из самых престижных премий в математике получил в этом году Майкл Талагранд за «вклад в теорию вероятностей и функциональный анализ, и их выдающееся приложение к математической физике и статистике». Ученый вывел формулы, делающие случайные процессы более предсказуемыми, и внес важный вклад в различные области знаний, от предсказания погоды до больших языковых моделей.